基于DS证据理论的多源雷达数据融合方法

DS证据理论（Dempster-Shafer Evidence Theory），又称证据理论或信念函数理论，是处理不确定性推理的一种重要方法，由 Arthur Dempster 提出，并由 Glenn Shafer 系统化和推广。它是一种基于集合论和概率论的理论框架，广泛应用于信息融合、决策分析和人工智能等领域。

DS证据理论的主要思想是，通过证据（Evidence）分配不同假设的支持程度（信任值），以处理不确定性和不完全信息。其中证据可以看作数据来源，或者某种观察函数，假设就是观察的可能。

1. 框架（Frame of Discernment, Θ）

框架是一个互斥且穷尽的假设集合，表示问题的所有可能解。例如：

$\Theta = \{\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n\}$

其中每个 $\theta_i$ 是一个具体的假设。

2. 基本概率分配（Basic Probability Assignment, BPA）

基本概率分配（或称基本信任分配函数），记作 $m(A)$ ，用于表示某个证据支持某个子集 $A \subseteq \Theta$ 的程度。满足以下条件：

$m: 2^\Theta \to [0, 1]$ ，即 $A$ 是 $\Theta$ 的任意子集。
$m(\emptyset) = 0$ ，即空集的信任度为零。
$\sum_{A \subseteq \Theta} m(A) = 1$ ，即所有子集的信任度之和为 1。

含义：

$m(A)$ 表示证据对假设集合 $A$ 的直接支持程度，而不是对 $A$ 的所有真值分配的概率。

3. 信任函数（Belief Function, Bel）

信任函数 $Bel(A)$ 表示证据对 $A$ 的总支持程度（包含对 $A$ 的子集的支持）。定义为：

$Bel(A) = \sum_{B \subseteq A} m(B)$

4. 似然函数（Plausibility Function, Pl）

似然函数 $Pl(A)$ 表示证据不反对 $A$ 的程度。定义为：

$Pl(A) = \sum_{B \cap A \neq \emptyset} m(B)$

关系：信任函数和似然函数之间有如下关系：

$Pl(A) = 1 - Bel(\neg A)$

其中， $\neg A = \Theta \setminus A$ 。

Dempster 规则（证据组合规则）

在 DS 证据理论中，当有多个证据来源时，可以使用 Dempster 规则来组合这些证据。假设有两个基本概率分配 $m_1$ 和 $m_2$ ，组合后得到的新分配 $m$ 定义为：

$m(C) = \frac{\sum_{A \cap B = C} m_1(A) \cdot m_2(B)}{1 - K}, \quad C \neq \emptyset$

其中：

$K = \sum_{A \cap B = \emptyset} m_1(A) \cdot m_2(B)$

$K$ 是冲突系数，表示两个证据之间的冲突程度。

特点：

若 $K = 1$ ，即完全冲突，则无法进行组合。
Dempster 规则是一种归一化的融合方法，仅考虑非冲突部分。

优势与特点

处理不确定性：DS理论允许将信任分配给某些假设的子集，而不是必须对单个假设进行精确评估。
灵活性：可以处理不完全、不一致或冲突的证据。
概率推广：与传统概率论相比，它是一种更广义的框架。

应用场景

DS证据理论在许多领域具有重要应用，特别是信息融合和决策支持，例如：

多传感器数据融合：将不同传感器的观测结果进行融合，形成更全面的判断。
医学诊断：通过不同的检测方法综合判断病情。
故障诊断：基于多种监测数据，判断设备是否发生故障。
目标识别：融合多种信息源，识别目标属性。

多源雷达数据融合设计

我们需要在海上识别一个目标，该目标可能是以下几种类型之一：

$\Theta = \{\text{舰船} (\text{Ship}), \text{潜艇} (\text{Submarine}), \text{无人艇} (\text{UAV})\}$

我们使用了两种传感器：

雷达：通过回波特征判断目标类型。
声呐：通过水下噪声信号判断目标类型。

传感器输出的基本概率分配（BPA）

雷达传感器（ $m_1$ ）：
- $m_1(\{\text{舰船}\}) = 0.7$ ：雷达认为目标是舰船的可能性为 70%。
- $m_1(\{\text{潜艇}\}) = 0.2$ ：雷达认为目标是潜艇的可能性为 20%。
- $m_1(\Theta) = 0.1$ ：雷达无法完全确定，剩下的 10% 不确定性分配给整个集合。
声呐传感器（ $m_2$ ）：
- $m_2(\{\text{潜艇}\}) = 0.6$ ：声呐认为目标是潜艇的可能性为 60%。
- $m_2(\{\text{无人艇}\}) = 0.3$ ：声呐认为目标是无人艇的可能性为 30%。
- $m_2(\Theta) = 0.1$ ：声呐也有 10% 的不确定性。

我们的目标：融合两个传感器的证据

1. 构建冲突系数 $K$

冲突系数计算的是两传感器对不同假设的完全冲突部分：

$K = \sum_{A \cap B = \emptyset} m_1(A) \cdot m_2(B)$

$A = \{\text{舰船}\}, B = \{\text{潜艇}\} \rightarrow m_1(A) \cdot m_2(B) = 0.7 \cdot 0.6 = 0.42$
$A = \{\text{舰船}\}, B = \{\text{无人艇}\} \rightarrow m_1(A) \cdot m_2(B) = 0.7 \cdot 0.3 = 0.21$
$A = \{\text{潜艇}\}, B = \{\text{无人艇}\} \rightarrow m_1(A) \cdot m_2(B) = 0.2 \cdot 0.3 = 0.06$

冲突系数总和：

$K = 0.42 + 0.21 + 0.06 = 0.69$

2. 归一化的分配计算

根据 Dempster 规则，对每个非空子集 $C \subseteq \Theta$ 计算新的 $m(C)$ ：

$m(C) = \frac{\sum_{A \cap B = C} m_1(A) \cdot m_2(B)}{1 - K}$

$m(\{\text{舰船}\})$ ：

$m(\{\text{舰船}\}) = \frac{m_1(\{\text{舰船}\}) \cdot m_2(\Theta) + m_1(\Theta) \cdot m_2(\{\text{舰船}\})}{1 - K}$ $= \frac{0.7 \cdot 0.1 + 0.1 \cdot 0}{1 - 0.69} = \frac{0.07}{0.31} \approx 0.226$

$m(\{\text{潜艇}\})$ ：

$m(\{\text{潜艇}\}) = \frac{m_1(\{\text{潜艇}\}) \cdot m_2(\Theta) + m_1(\Theta) \cdot m_2(\{\text{潜艇}\}) + m_1(\{\text{潜艇}\}) \cdot m_2(\{\text{潜艇}\})}{1 - K}$ $= \frac{0.2 \cdot 0.1 + 0.1 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.6}{1 - 0.69} = \frac{0.02 + 0.06 + 0.12}{0.31} = \frac{0.2}{0.31} \approx 0.645$

$m(\{\text{无人艇}\})$ ：

$m(\{\text{无人艇}\}) = \frac{m_1(\Theta) \cdot m_2(\{\text{无人艇}\})}{1 - K}$ $= \frac{0.1 \cdot 0.3}{0.31} = \frac{0.03}{0.31} \approx 0.097$

$m(\Theta)$ ：

$m(\Theta) = \frac{m_1(\Theta) \cdot m_2(\Theta)}{1 - K}$ $= \frac{0.1 \cdot 0.1}{0.31} = \frac{0.01}{0.31} \approx 0.032$

最终融合结果

融合后的基本概率分配为：

$m(\{\text{舰船}\}) \approx 0.226, \, m(\{\text{潜艇}\}) \approx 0.645, \, m(\{\text{无人艇}\}) \approx 0.097, \, m(\Theta) \approx 0.032$

结论

根据融合结果， $\{\text{潜艇}\}$ 的信任度最高（64.5%），说明目标最可能是潜艇。
其他假设的可能性较低，但仍有一定不确定性分布在其他集合上。

目录